Isospectral flow in Loop Algebras and Quasiperiodic Solutions of the Sine-Gordon Equation

The sine-Gordon equation is considered in the hamiltonian framework provided by the Adler-Kostant-Symes theorem. The phase space, a finite dimensional coadjoint orbit in the dual space \grg^* of a loop algebra \grg, is parametrized by a finite dimensional symplectic vector space $W$ embedded into \grg^* by a moment map. Real quasiperiodic solutions are computed in terms of theta functions using a Liouville generating function which generates a canonical transformation to linear coordinates on the Jacobi variety of a suitable hyperelliptic curve.Comment: 12 pg

Exact Solutions to the Sine-Gordon Equation

A systematic method is presented to provide various equivalent solution formulas for exact solutions to the sine-Gordon equation. Such solutions are analytic in the spatial variable $x$ and the temporal variable $t,$ and they are exponentially asymptotic to integer multiples of $2\pi$ as $x\to\pm\infty.$ The solution formulas are expressed explicitly in terms of a real triplet of constant matrices. The method presented is generalizable to other integrable evolution equations where the inverse scattering transform is applied via the use of a Marchenko integral equation. By expressing the kernel of that Marchenko equation as a matrix exponential in terms of the matrix triplet and by exploiting the separability of that kernel, an exact solution formula to the Marchenko equation is derived, yielding various equivalent exact solution formulas for the sine-Gordon equation.Comment: 43 page

Гистограммный фильтр с настройкой параметра сглаживания

A histogram filter with smoothing parameter settings is discussed in the article. The histogram filter can be effectively applied in the problems of identification (recognition) of distribution laws for small amounts of data. The smoothing parameter is determined taking into account the available a priori information regarding the proposed distribution law. The relationship between the mathematical expectations of the chi-square fit criterion of the standard estimation histogram and the use of the histogram filter has been determined. This ratio is determined by the smoothing factor. The numerical value of the smoothing coefficient depends on the following parameters: the amount of data, the number of grouping intervals, and the shape parameters of the distribution law. The paper analyzes the feasibility of using a histogram filter, depending on the ratio of the above parameters. The dependence of the smoothing coefficient on the specified parameters allows one to determine the relationship between the number of data grouping intervals and their volume. The histogram filter is an easy-to-implement tool that can be easily integrated into any open distribution law identification (recognition) algorithmВ статье рассматривается гистограммный фильтр с настройкой параметра сглаживания. Гистограммный фильтр может быть эффективно применен в задачах идентификации (распознавания) законов распределения для малых объемов данных. Параметр сглаживания определяется с учетом имеющейся в наличии априорной информации относительно предполагаемого закона распределения. Установлено соотношение между математическими ожиданиями критерия согласия хи-квадрат стандартной гистограммной оценки и с использованием гистограммного фильтра. Такое соотношение определяется коэффициентом сглаживания. Численное значение коэффициента сглаживания зависит от параметров: объема данных, количества интервалов группирования данных, параметров формы закона распределения. Проведен анализ целесообразности применения гистограммного фильтра с учетом соотношения указанных выше параметров. Зависимость коэффициента сглаживания от этих параметров позволяет определить взаимосвязь между количеством интервалов группирования данных и их объемом. Гистограммный фильтр является простым для реализации инструментом, который легко может быть встроен в любой открытый алгоритм идентификации (распознавания) закона распределения

Оптимальный гистограммный фильтр

The article discusses a technique for constructing an optimal histogram filter and its modifications, taking into account a priori information about the expected probability distribution density. The main idea of constructing a histogram filter is to apply a special transformation that displays the profile of a section of any distribution law into a constant level of characteristic numbers equivalent to it. This transformation allows to determine the coefficients of the histogram filter. An estimate of the value of the number of data of a particular interval of the histogram is formed by the characteristic function of the filter containing real data and equivalent to the characteristic number. The convergence of the estimates obtained by the histogram filter to the true values of the interval probabilities is shown. Modifications of the optimal histogram filter that require less computational costs for their implementation are considered. The upper bounds of the qualitative characteristics of filters are obtained. It has been established that the optimal histogram filter, regardless of the type of distribution law, provides three times the best quality of identification (recognition) in comparison with the standard histogram estimate. The efficiency of the histogram filter is confirmed by simulations. The histogram filter is an easy-to-implement tool that can be easily integrated into any open distribution law identification (recognition) algorithm.Рассматривается методика построения оптимального гистограммного фильтра и его модификаций с учетом априорной информации о предполагаемой плотности распределения вероятностей. Основная идея построения гистограммного фильтра заключается в применении специального преобразования, отображающего профиль участка любого закона распределения в эквивалентный ему постоянный уровень характеристических чисел – информационных весов. Это преобразование позволяет определить коэффициенты гистограммного фильтра. Оценка значения числа данных конкретного интервала гистограммы формируется характеристической функцией фильтра, содержащей реальные данные и соответствующей характеристическому числу. Показана сходимость оценок, полученных гистограммным фильтром, к истинным значениям вероятностей интервалов. Рассмотрены модификации оптимального гистограммного фильтра, требующие меньше вычислительных затрат на их реализацию. Получены верхние границы качественных характеристик фильтров. Установлено, что оптимальный гистограммный фильтр независимо от вида закона распределения обеспечивает в три раза лучшее качество идентификации (распознавания) в сравнении со стандартной гистограммной оценкой. Эффективность гистограммного фильтра подтверждается моделированием. Гистограммный фильтр является простым для реализации инструментом, который легко может быть встроен в любой открытый алгоритм идентификации (распознавания) закона распределения

ФОРМИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ ТРАЕКТОРИЙ

The necessary theoretical knowledge for the creation and simulation of stochastic processes with desired properties of trajectories is shown. These properties include: passage of the trajectory through a set process milestones (areas), the formation of the dynamics of the process in view of a given stationary probability density, determination of process parameters on the basis of a predetermined length and duration of the trajectory.Приведены необходимые теоретические сведения для формирования и моделирования стохастических процессов с заданными свойствами траекторий. Эти свойства включают: прохождение траектории процесса через заданные контрольные точки, формирование статистики процесса с учетом заданной стационарной плотности вероятности, определение параметров процесса исходя из заданной средней длины траектории

АНАЛИЗ И ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО SECHk РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

The analysis of the robust properties of the generalized sechk-distribution is made. The possibility of producing natural-reduced maximum likelihood estimates of the offset parameter of the distribution is shown. Time-dependent density of the process described by the SDE with random structure centered at the transitions from one state to another is obtained. Examples of application of the generalized sechk distribution in statistical and technical problems are given.Проведен анализ робастных свойств обобщенного sechk распределения. Показана возможность получения естественно-сниженных оценок максимального правдоподобия параметра смещения этого распределения. Получена нестационарная плотность процесса, описываемого СДУ со случайной структурой при сосредоточенных переходах из одного состояния в другое. Приведены примеры применения обобщенного sechk распределения в статистических и технических задачах

МАСКИРОВКА ТРАЕКТОРИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ

The technique proposed in this paper makes it possible to mask the trajectory of a dynamic system with a stochastic process with given properties. The calculated relationships shown in this paper demonstrate the effectiveness of such camouflage in comparison with the simple stochastic expansion of the dynamic system model. The obtained results can be used in theoretical and applied studies devoted to the behavior, formation and modeling of trajectories of dynamic systems. The simulation results confirm the applicability and effectiveness of the proposed methodology.В работе рассмотрена методика маскировки траектории динамической системы стохастическим процессом с заданными свойствами. Приведены количественные соотношения, позволяющие оценить качество маскировки базовой траектории динамической системы. Результаты моделирования подтверждают применимость предложенной методики

ОБОБЩЕННОЕ НЕРАВЕНСТВО КРАМЕРА–РАО ДЛЯ МОМЕНТОВ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОШИБКИ ОЦЕНИВАНИЯ

In this paper it's obtained a generalized system of statistical inequalities under additional conditions of regularity of the statistical experiment, which is a generalization of the Cramer–Rao inequality. The resulting system of inequalities allows to find the lower bounds of arbitrary even error moments of estimates of unknown parameters. It's found relations which allow one to approximate and numerically calculate the distribution density of the estimation error with a limited set of cumulant coefficients.В работе, при дополнительных условиях регулярности статистического эксперимента, выведена система неравенств, являющаяся обобщением известного неравенства Крамера–Рао. Система таких неравенств позволяет находить нижние границы произвольных четных моментов ошибок оценок неизвестных параметров. Найдены соотношения, позволяющие аппроксимировать и численно рассчитать плотность распределения ошибки оценивания при ограниченном наборе кумулянтных коэффициентов

ФОРМИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ

The paper considers the method of forming the stochastic trajectories of multidimensional dynamical systems with desired properties. Projections phase variables on the coordinate axis of the n-dimensional hyperspace representing systems of stochastic differential equations. The proposed method allows to solve optimization problems binding parameters of stochastic trajectory with its average length and time of its passage.В работе рассмотрена методика формирования стохастических траекторий многомерных динамических систем с заданными свойствами, реализуемыми с использованием стохастических дифференциальных уравнений. Методика позволяет решать оптимизационные задачи связывающие параметры стохастичности траектории с параметрами системы. Результаты моделирования подтверждают применимость предложенной методики

Фильтрация гистограммной оценки плотности вероятности на основе нечеткой принадлежности интервалу группирования

The paper proposes a histogram estimate of the probability density based on fuzzy data belonging to a grouping interval. A methodology for constructing a histogram estimate using a histogram smoothing filter is presented. The technique of constructing such a filter is described. The main filter parameter is established – the coefficient of the statistical relationship between the amount of data falling into the grouping interval for a single inclusion function and when approaching to use the membership function. The use of an iterative procedure for a histogram filter allows for a greater “smoothness” of the histogram. The simulation results show the effectiveness of using a histogram filter for different data volumes. At the same time, the choice of the number of grouping intervals for the “correct” recognition of probability density becomes not critical. The histogram filter is a simple tool that can easily be built into any algorithm for constructing histogram estimates.В работе предложена гистограммная оценка плотности вероятности на основе нечеткой принадлежности данных интервалу группирования. Приведена методика построения гистограммной оценки с применением гистограммного сглаживающего фильтра. Описана методика построения такого фильтра. Установлен основной параметр фильтра – коэффициент статистической взаимосвязи между количеством данных, попавших в интервал группирования при единичной функции включения и при подходе с использованием функции принадлежности. Применение итерационной процедуры для гистограммного фильтра позволяет обеспечить большую «сглаженность» гистограммы. Результаты моделирования показывают эффективность применения гистограммного фильтра для разных объемов данных. При этом становится некритичным выбор числа интервалов группирования для «правильного» распознавания плотности вероятности. Гистограммный фильтр является простым инструментом, который легко может быть встроен в любой алгоритм построения гистограммных оценок